最近は残業を事前許可制にする会社も増えているようです。

それ自体は全く問題はありません。

では、本人が勝手に残業をしても時間外手当を払わなくていいかというと一概には言えません。

会社が社員が無許可で残業しているのをわかってて放置した場合はそうも行かないです。
残業時間も使用者の指揮命令下にあるので、社員が勝手に残業してたからという言い訳は通りません。

残業時間とみなされた判例も実際にあります。
（ゴムノイナキ事件（大阪高裁H17.12.1））

就業規則に書きっぱなしにせず、実際に無許可残業をさせないように対策を立てておきたいです。

対策方法としては次の方法が考えられます
まず就業時間に残っている社員の実態を把握すること。
ゲームなど私的な事をしていたら即帰宅を促します。

また管理監督者が定期的に巡回したり、監視カメラを設置することもありです。

本当に業務量が多くて残業をセざるを得ないのであれば、業務分担の見直し、業務内容の合理化、人員配置の見直しなどもしていって、残業を減らしていくようにしていくことが大事です。。