結論から言いますと出張先に向かう移動時間は通勤時間とみなされます。ですので時間外手当や深夜手当などの割増賃金は付きません。

また休日明け朝一番に地方で仕事があるため、前日の夜に現地入りしたとしても、休日の移動時間は労働時間にはなりません。
とはいえ移動することによって、休日の行動が制約されるので別に「日当」や「手当」を出している企業もあります。（法令で義務付けられているわけではありません）

争いに発展しないためにも日当や手当の支給基準は明確にしておくことをお勧めします。同時に社員にもキチンと確認させるようにしましょう。

ちなみに労災保険法上は出張の移動は通勤災害でなく労災扱いになります。

一方運送業にように移動を仕事としている業種は待機時間となり労働時間とみなされます。例えばトラックの運転手が二人で交代で運転するときは助手席に座っている時間も待機時間になります。